English Version: Introduction to Spherical Harmonics
尽量不用各种术语来讲清楚SH（Spherical Harmonics）系数，以及SH在简单光照描述上的应用。 科普向。
SH，球谐函数，归根到底只是一组基函数，至于这组基函数是怎么来的，不管他。
其实大家小学二年级学过泰勒展开和傅里叶变换的话，对基函数应该是非常了解的。
比如多项式基函数：
$ y_{0} = 1 $
$ y_{1} = x$
$ y_{2} = x^2$
$ y_{3} = x^3$
….
比如三角函数基函数：
$y_{0} = 1 $
$y_{1} = sin(x)$
$y_{2} = sin(2x)$
$y_{3} = sin(4x)$
….
或者也可以随便乱写一个基函数：
$y_{0} = 555$
$y_{1} = \frac{1}{x} + tan(x)$
$y_{2} = x^3 - 666$
$y_{3} = sin(4x)$
….
有了基函数，就可以把任意一个函数，描述成几个基函数的加权和了。
例如
$y \approx 0.1 y_0 + 0.3 y_1 + 0.8 y_2 + 0.001 y_3+…$
这时候，就相当于是把一个原始函数
$y = f(x)$
变成了一组系数:
0.1, 0.3, 0.8, 0.001, …
一般的，能用的基函数个数越多，表达能力就越强。
本质上是一个有损压缩。有点像个密码本，你一本我一本，上面写了基函数的定义，这样传密码的时候只要传几个系数就可以了，系数传到我这儿，我能复原出y = f(x)，只是没那么准确了。
以下面这个方波函数为例，黑色的这个方波函数不能准确的用几个正弦基函数的加权描述，但是当基函数用的个数越多，跟方波函数本身也就越接近。
这里用的是二维直角坐标系，拓展到极坐标系的基函数也可以随便举个例子：
例如：
$ r_0 = 1 $ （蓝色）
$r_1 = cos θ $ （绿色）
$r_2 = sin θ$ （紫色）
$r3 = …$
三维也是一样的，三维直角坐标系的函数可能长这样
直角坐标系的基长这样
$z_0 = f_0(x, y) $
$z_1 = f_1(x, y) $
$z_2 = f_2(x, y) $
…
对应的，三维直角坐标系也可以拓展到三维球面坐标系。
而三维球面坐标系上的函数画出来可能是这样的：
不用距离而是用颜色来描述的话就可能是这样
球面坐标系的基长这样：
$r_0 = f_0(θ，φ) $
$r_1 = f_1(θ，φ) $
$r_2 = f_2(θ，φ) $
…
最有名的球面基函数就是球谐函数了。球谐函数有很多很好的性质，比如正交性，旋转不变性（这边就不介绍了）。正交性说明每个基函数都是独立的，每个基函数都不能用别的基函数加权得到。
SH的基函数长这样（其中蓝色表示正数，黄色表示负数），一般尝试了解过SH的同学都见过这个图：
表达式长这样：
第一次看完表达式之后的心情一般如下
其实退化到二维来看，还是很简单的，二维的SH差不多长这样，蓝色表示正数，黄色表示负数：
（具体系数不太准确仅用于示意…）
像这样是不是就特别简单了，em，看这个波瓣长得似乎有点三维SH的意思了嘛。
（可以思考一个小问题：为啥二维情况下第三排的基函数只有cos平方，没有sin平方呢？）
假如有一个极坐标的函数长这样：
他可以表示为
$r = 0.5 + 0.1 cos θ + 0.07 sin θ + 0.05 cos θ sin θ + 0.3(2cos^2θ - 1)$
只记系数，这个函数就压缩为了：
0.5， 0.1， 0.07， 0.05， 0.3
回到三维的情况这几个数字其实就是SH系数啦。
当SH的系数用的越多，那么表达能力就越强，跟原始的函数就越接近
当用来描述不同方向光照的SH基函数我们一般用到二阶或者三阶，二阶是4个系数：
拓展到rgb，就是4 * 3 = 12个系数
三阶是9个系数：
拓展到rgb，就是9 * 3 = 27个系数
空间中的每个Probe带一组SH系数，就可以描述这个位置的大致光照情况了。
为啥不用更高阶的SH？一方面是因为更多的系数会带来更大的存储压力、计算压力，而一般描述变化比较平滑的环境漫反射部分，用3阶SH就足够了；另一方面则是因为SH的物理含义不是特别好理解，高阶SH容易出现各种花式Artifact，美术同学一般都会认为这种表现属于bug。
那有没有更直观物理含义更好理解的基函数的？也有的，比如SG
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